3. Toonsystemen

Fijne stemmechanieken

Wed, 16 Mar 2011 22:16:00 GMT

For reference purposes: Atari 800xl pitches for the PAL version

Thu, 16 Dec 2010 00:46:00 GMT

The Atari 800xl (as well as the 400, 800, 600xl and XE) has a very simple sound chip. It is not 8 bit like your sound interface is 16 bit or 24 bit in resolution now. It cannot make a sine-like wave with an 8 bit resolution. It has 4 sound channels, each can tap into one of these two clocks: At 64kHz, or if you poke a memory location, 15kHz. Two of the three can tap into the main clock, which is slightly lower for the PAL version: ±1.77Mhz. I assume the 64kHz and 15kHz clocks are also related to the clocking of the video, hence different for the PAL and NTSC versions.

The clocks are then devided by a number, which is expressed in 8 bit. The result is a square wave with a 1 bit resolution. This square wave can then be changed in volume in 16 steps, 4 bits deep. So the endproduct is technically 4 bits deep, but this 4 bit resolution is not available to the four individual streams!

The devided clock frequency results in a simple square wave. This can be made noisy. In the Atari, there are 3 random number generators. They are not really random, they repeat a noisy series of zeros and ones. These series of zeros and ones each have different lengths: 16 numbers, 32 numbers, and the third can be switched: 512 numbers or about 128.000 (17bits). The last one sounds the most like white noise.

The devided clock can be used as a sample and hold for these noise generators. This way, the maximum frequency in the noise can not be higher than the pitch by which you sample it. If you use the low numbers, you will notice the result is pitchy, much like a ring modulator. This is especially true for the shortest noise generator, called distortion number 12 in Basic.

You can then patch in X-OR circuits, by a poke command, combining channel 0+2 and 1+3 respectively. This results in a sort of crude high frequency filter, as the result can never be lower than the pitch of devider 2 and 4 (which then are, I assume, not used to sample noise)

Another way of combining audio channels is by patching two deviders in succession. So the output of devider 0, is then devided again by devider 1, thus resulting in a lower pitch. I will need to test if any or both of the deviders can be used for the noise sampling. At least bass material can be made this way.

In atari music, the 4 channels are often used as follows:

Channel 0 devided again by channel 1, for bass.
Channel 2, used to sample the large noise generator, for rhythms.
Channel 3, used for a high pitched melody.

Please note that deviding pitches will never ever produce an equal temperament scale. In fact, you will get some very pure fifths, but some others will be WAY off. Also, the higher your pitch at the output, the smaller the number is you devided with. So at high pitches, your pitch resolution is too small. The upside of this system, is that you will find lower octaves of the same value in cents as the ones you will find in higher pitches. So I looked into this, and worked out the Atari temperament down to the tenths of cents. This is something you will not find in any manual, which is why I post it here. I measured the standard 64kHz clock devisions, so no poking yet. Stay tuned for an update on those.

note, difference with 12-tone-ET, devision for several octaves.

B2 +3.2 cent, 255
C3 +0.6 cent, 241 120
C# +3.6 cent, 227 113 56
D3 -2.6 cent, 215 107 53 26
Es -3.6 cent, 203 101 50
E3 +1.3 cent, 191 95 47 23 11
F3 -6.1 cent, 181 90
F# -8.3 cent, 171 85 42
G3 -4.6 cent, 161 80 39
G# +5.6 cent, 151 75 37 18
A3 -0.7 cent, 143 71 35 17 8
Bb -1.7 cent, 135 67 33 16
B3 +3.2 cent, 127 63 31 15 7

Note that F, F# and G# are the furthest away from 12 tone ET. The rest is usable.

These are the distances between the notes in cents:

N second minor3 major3 forth- fifth-- majsix minsept

C 196.8 - 295.8 - 400.7 - 493.3 - 694.8 - 898.7 - 997.7
# 192.8 - 297.7 - 390.3 - 488.1 - 702.0 - 894.7 - 999.6
D 203.9 - 296.5 - 394.3 - 498.0 - 701.9 - 905.8 - 1003.2
# 197.5 - 295.3 - 399.0 - 509.2 - 701.9 - 904.2 - 1007.2
E 190.4 - 294.1 - 404.3 - 498.0 - 701.9 - 902.3 - 996.1
F 201.5 - 311.7 - 405.4 - 504.4 - 706.7 - 903.5 - 1002.5
# 213.9 - 307.6 - 406.6 - 511.5 - 711.9 - 904.7 - 1009.6
G 203.9 - 302.9 - 407.8 - 505.2 - 702.0 - 905.9 - 998.5
# 192.7 - 297.6 - 395.0 - 498.0 - 690.8 - 888.3 - 986.1
A 203.9 - 301.3 - 404.3 - 498.1 - 702.0 - 892.4 - 996.1
# 202.3 - 305.3 - 399.1 - 498.1 - 695.6 - 897.1 - 1007.3
B 200.4 - 294.2 - 393.2 - 498.1 - 688.5 - 902.4 - 996.1

The purest notes:
Second: 204cent. I'm happy to find these.
Minor3: 298cent or 316. There are many different thirds here, but some are really close to pure.
forths: 498.1cent There are, logically very pure forths.
fifth: 701.9cent Note that some are way off, but many are very pure Pythagorean fifths!

Since I prefer to play in Dorian: What is the purest minor key? It's Dm

D3 -2.6 215 107 53 26
E3 +1.3 191 95 47 23 11
F3 -6.1 181 90
G3 -4.6 161 80 39
A3 -0.7 143 71 35 17 8
B3 +3.2 127 63 31 15 7
C3 +0.6 241 120 60*

My Joystick mapping:

10 JOY=STICK(0)
20 IF JOY=15 THEN POKE 53760, 160 : GOTO 10
30 IF JOY=13 THEN N=215
40 IF JOY=9 THEN N=191
50 IF JOY=5 THEN N=181
60 IF JOY=11 THEN N=161
70 IF JOY=7 THEN N=143
80 IF JOY=10 THEN N=127
90 IF JOY=6 THEN N=120
100 IF JOY=14 THEN N=107
110 IF STRIG(0)=0 THEN N=INT(N/2)
120 POKE 53761, N : POKE 53760, 175
140 GOTO 10
150 REM RUN turns the sound off, GOTO does not!
160 REM Note 120/2=60 this is 14cents too low, but usable in this role.

Notes:
The SOUND command in BASIC resets all interesting POKEs you did into 53768 (Audio Control)
RUN shuts off audio that is currently playing, GOTO does not.

POKE 53768 controls the audio patch:
128 : Makes the long 17 bits pseudo random "poly noise" word 9 bits long.
64 : clock Channel 0 with 1.76 MHz CPU clock, for higher pitches.
32 : clock Channel 2 with 1.76 MHz CPU clock, for higher pitches.
16 : clock Channel 1 with Channel 0 for lower frequencies, preciser pitches.
8 : clock Channel 3 with Channel 2 for lower frequencies, preciser pitches.
4 : Feed Channel 0 and Channel 2 through an X-OR as an highpass filter.
2 : Feed Channel 1 and Channel 3 through an X-OR as an highpass filter.
1 : Set all 4 clocks to 15 kHz (horizontal refresh rate) for 2 octaves lower sound.
Add the numbers of the options you want, and poke these into 53768.

POKE addresses per Channel:
Channel, frequency - distorion and volume
0, 53760 - 53761
1, 53762 - 53763
2, 53764 - 53765
3, 53766 - 53767

The distortion value in Basis is not really distortion. It's a 1 bit stream and can't be distorted like an analog signal can be, by definition. This is the noise sampler. The following table is the numbers to POKE (from silence to high volume) => Binairy code => then the number you would have used in the sound command => : function. I left out similar fuctions, and ordered it by noisyness.
160 - 175 => 1010xxxx =>10 => : Pure square wave
192 - 207 => 1100xxxx =>12 => : 4-bit poly noise, sounds like a ringmodulator
032 - 047 => 0010xxxx => 2 => : 5-bit poly noise, sounds a bit like a ringmodulator
064 - 079 => 0100xxxx => 4 => : 5-bit/4-bit poly noise
000 - 015 => 0000xxxx => 0 => : 5-bit/9 or 17-bit poly noise
128 - 143 => 1000xxxx => 8 => : 9 or 17-bit poly noise, 17 sounds really noisy.
240 - 255 => 1111xxxx =>15 => : The input into the volume is always one, making the volume a control voltage, 4 bits deep. I have not yet checked of the output is DC coupled.

10 JOY=STICK(0)
11 P=(PADDLE(2)):Q=(PADDLE(3))
12 Q=160+INT(Q/15)
13 ? N,P,Q
15 IF PTRIG(2)=0 THEN POKE 53768, 5
16 IF PTRIG(3)=0 THEN POKE 53768, 1
20 IF JOY=15 THEN POKE 53761,160 :POKE 53765,160: GOTO 10
30 IF JOY=13 THEN N=215:GOTO 100
40 IF JOY=9 THEN N=191:GOTO 100
50 IF JOY=5 THEN N=181:GOTO 100
60 IF JOY=11 THEN N=161:GOTO 100
70 IF JOY=7 THEN N=143:GOTO 100
80 IF JOY=10 THEN N=127:GOTO 100
90 IF JOY=6 THEN N=120:GOTO 100
100 IF JOY=14 THEN N=107
101 IF N=NOUD THEN GOTO 10
102 NOUD=N
110 IF STRIG(0)=0 THEN N=INT(N/2)
120 POKE 53761,175: POKE 53760,N
130 POKE 53765,Q: POKE 53764,P
140 GOTO 10

Fluitend op de fiets

Sat, 04 Sep 2010 23:58:00 GMT

Over fixed gear fietsen, molens en het stemmen van instrumenten

Ik hou niet van de gewone gelijkzwevende stemming, zoals hier op dit blog uit en te na aan de orde is geweest. Zelfs dat woord vind ik stom en onjuist, omdat er geen twee tonen zijn die gelijk zweven aan twee andere in deze stemming. Vooral die ruime grote tertsen en enge mineurtonen vind ik niet mooi. Maar wat dan? Die smaakkwestie leidde tot een zoektocht naar de geschiedenis van het stemmen van piano's en orgels. Dat begon jaren geleden (toen ik nota bene in de Simon Stevinstraat te 's-Gravenhage woonde) en nog steeds leer ik er meer over.

De gelijkzwevende stemming wordt pas gemeengoed nadat Prinses Amalia van Pruisen (leerlinge van Kirnberger, die leerling was van Bach) verder discussie over allerlei weltemperierte stemmingen (die ik wel mooi vind) per koninklijk verbod afkapt. Dat doet ze ongeveer 200 jaar nadat Simon Stevin de methode van het "gelijkzwevende" stemmen had voorgesteld en wiskundig had doorgerekend. Ik heb me lang afgevraagd waarom een ingenieur als Stevin, die zich bezig hield met serieuze zaken als windmolens en renteberekeningen, een methode voor stemmen ging doorrekenen. Was hij een muziekliefhebber? Vast wel, want hij schreef ook bespiegelingen (zijn woord voor theorie) over zangtechniek. Maar dat kan niet alles zijn, want stemmen is nogal een ongebruikelijke kwestie om je in te willen verdiepen en harde wiskunde is meestal niet welkom op gevoelige muziekavonden.

Wiskunde en Fixie

Ik rij op een fixed gear fiets. Dat is ineens heel hip. Eind jaren zeventig was het heel hip om het achtertandwiel van een oude fiets vast te zetten, nu komen deze fietsen veel voor in de vorm van een soort racefiets, aka New York messenger bike. Ik rij gewoon met remmen en heb vooral mijn voorrem scherp afgesteld. Veel fixierijders rijden zonder remmen. Ze stoppen door het achterwiel even op te wippen en dan de pedalen stil te houden. Als je rechtsbenig bent, is dat makkelijker met je rechter been achter. Omdat je achterwiel niet door kan draaien ten opzichte van je pedalen, slip je en rem je af. En daarvan slijt je band hard.

Fixed-rijders moeten goed nadenken over het verzet waarmee ze rijden, want je kunt niet schakelen. Hoe groter het voortandwiel, en hoe kleiner het achtertandwiel, hoe zwaarder je moet trappen, hoe harder je kunt fietsen, en hoe moeilijker je kunt remmen. Gewone racefietsers kijken enkel naar de zwaarte van het verzet, maar fixed-rijders hebben nog een extra probleem: Als je een te mooie verhouding tussen het aantal tanden van je voortandwiel en achtertandwiel kiest, dan staat je achterwiel altijd in dezelfde positie als je slipt. Daardoor slijt je band op één plek door. Fixedrijders willen weten hoeveel "skidpatches" en bepaalde combinatie van tandwielen oplevert, want er zijn ook verhoudingen waarin je band veel egaler slijt.

Hier staat een rekentooltje: bikecalc.com/skid_patch_calculator
Vul als voorbeeld bij minimaal 44 en 12 in (voor- en achtertandwiel) en bij maximaal 48 en 18. Dat levert een tabel op waarin het aantal slijtplekken staat. Update: Hier staat er nog een, en deze heeft een grafisch uitwerking van die slijtplekken:
bareknucklebrigade.com/rabbit.applet
Je ziet meteen waarom ik met 44 en 17 rijdt, niet met bijvoorbeeld 45 en 15 tanden. In dat laatste geval zou je achterwiel precies 3x ronddraaien bij elke keer dat de pedalen 1x rond zijn gegaan. Daardoor staat het wiel altijd met dezelfde plek beneden als mijn pedalen horizotaal staan. Bij 44 en 17 draait het achterwiel steeds iets minder dan 3x rond bij elke rondgang van de pedalen en daardoor zijn er verschillende posities waarop het wiel kan uitkomen. Merk ook op dat de priemgetallen 13, 17 en 47 ideale keuzes zijn wat betreft dit soort slijtage.

Molens en Stemmingen

Simon Stevin publiceerde een aantal beroemde tabellen. Als jij toen een website had kunnen maken, had hij zulke rekentooltjes er op gezet. Ik zag laatst een BBC documentaire waarin een uitvinding van Simon Stevin werd genoemd. Behalve de schoepenraderen waarmee je water kon malen, had Stevin nog iets veel belangrijkers bedacht, vertelde deze docu. De molen moest kunnen draaien ten opzichte van de wind en binnenin de molen was een verzet nodig. De constructie daarvoor werkte met houten tandwielen. Stevin toonde aan dat het gebruik van tandwielcombinaties waarvan er ten minste één een aantal tanden uit de reeks priemgetallen had, veel slijtvaster waren. Ze zijn wat moeilijker te maken dan die met even aantallen, dat wel, maar het loont zich: De tandwielen moeten veel vaker ronddraaien voor ze weer in precies dezelfde stand ten opzichte van elkaar staan. Zo slijten ze heel evenwichtig. Een evenwichtig ingewerkte molen is bovendien zeer stil. Ineens had ik antwoord op mijn vraag: Simon Stevin had in dit tandwielenprobleem het harmonie-probleem herkend. Als je een tabel met slijtage-factoren van tandwielen kunt maken, kun je ook uitrekenen hoe harmonisch combinaties van muzikale tonen zijn. Muzikaal klinken de combinaties die juist mooi met elkaar in de pas lopen.

Fixed gear rijders rekenen dus uit of hun voortandwiel een harmonisch aantal tanden heeft ten opzichte van hun achtertandwiel. Als het harmonisch is, dan kiezen ze een andere combinatie. Waar in de muziek juist heel gelijksoortige verhoudingen worden gekozen als 1:2, 3:4, 2:3, en 1:3 kies je in werktuigen en fietsen juist de niet-harmonische verhoudingen. Zo klinkt 450 Hz met 150 Hz samen als een welluidend akkoord, en slijt je achterband 17x sneller als je met 45:15 tanden rijdt, dan wanneer je met 44:17 tanden rijdt.
Conclusie: Met een vals verzet rijd je fluitend op de fiets.

Pluto en Neptunus

Sun, 07 Mar 2010 22:34:00 GMT

De meeste planeten trekken elkaar niet uit hun baan, doordat hun omloopfrequenties niet harmonisch zijn. Zodoende komen ze elkaar niet zo vaak onder gelijke omstandigheden tegen. Als illustratie van het effect dat harmonie heeft op omloopbanen: De manen van Saturnus hebben hun harmonischen uit de ringen weggesneden. De NASA heeft hier een mooie foto van op hun flickr gezet.

Pluto en Neptunus, echter, hebben banen die elkaar op twee punten kruisen. Maar doordat hun omwentelingen op elkaar resoneren in een zuivere kwint (2:3) verschuiven hun fases niet en zodoende komen ze elkaar juist niet tegen. Wikipedia heeft hier een heldere uitleg over.

Links een maan en de gevolgen in een ring van Saturnus, rechts de banen van Pluto en Neptunus.

Well tempered guitar

Thu, 25 Feb 2010 00:02:00 GMT

De "gelijkzwevende" stemming levert, compensatie voor snaardikte en vertekeningen die ontstaan door het moeten indrukken van een snaar, 12 kaarsrechte fretten op. Zo ziet de hals van een well tempered guitar er uit, in Lehman/Bach stemming, met compensatie voor de fysieke beperkingen.

Sweelinck's Fantasia Chromatica in 3 manieren van stemmen

Sun, 14 Feb 2010 02:48:00 GMT

Maxwell Steer heeft 3x hetzelfde stuk gespeeld, op hetzelfde instrument, dat op 3 verschillende manieren gestemd is.

In Equal Temperament, zoals u het kent. Eenvormig en flets, vind ik. De stemming was bekend in Sweelinks tijd, maar werd afgewezen. Bovendien kon het alleen bij benadering gestemd worden.

In Werckmeister III, een vroege wohl temperierte stemming, met een veel spannender pallet dan Equal Temperament, met een royalere klank dan meantone. Het klinkt me doorlopend correct in de oren. Toch is deze manier van stemmen pas zo'n 70 jaar na Sweelinks dood uitgevonden.

In 1/4 komma middentoonstemming. Mooie kwarten en drieklanken, maar af en toe wel erg rasperig een zwevend. Toch was dit een Sweelinks tijd een heel gebruikelijke manier van stemmen. Wellicht is het idee van deze muziek ook wel dat wringende klanken zich oplossen in prachtig liggende drieklanken. Vooral het snellere deel tegen het einde klink echt heel strak, tot het zachter wordt. Dan volgt een spannend eind.

Affective key characteristics

Sat, 09 Jan 2010 22:04:00 GMT

from Christian Schubart's Ideen zu einer Aesthetik der Tonkunst (1806)
Translated by Rita Steblin in A History of Key Characteristics in the 18th and Early 19th Centuries. UMI Research Press (1983). Via Reddit

Unfortunately, I do not know on which temperament Schubart based this list, but by the description is seems to be an irregular temperament, like Vallotti or Prelleur.
I grouped major and minor keys and reorderd the keys on the circle of fiths, so you can see the transposing of emotions in such an irregular temperament, which is very usefull in music. Note how the circle of fifths becomes a journey through human emotions, starting out in balance, suffering in the darker locations in the soul on the opposit side of the circle and then back again to calmness. Depending on your starting point, of coarse.
Also, note that very positive and very negative feelings are associated with both major and minor keys. The "major is happy, minor is sad" qualification is a simplification that belongs to 12 tone equal temperament. It's this journey that I want to hear in Bach's Wohltemeperierte, but never have. Yet.

Major

C Major: Completely Pure. Its character is: innocence, simplicity, naivety, children's talk.

G Major: Everything rustic, idyllic and lyrical, every calm and satisfied passion, every tender gratitude for true friendship and faithful love,--in a word every gentle and peaceful emotion of the heart is correctly expressed by this key.

D Major: The key of triumph, of Hallejuahs, of war-cries, of victory-rejoicing. Thus, the inviting symphonies, the marches, holiday songs and heaven-rejoicing choruses are set in this key.

A Major: This key includes declarations of innocent love, satisfaction with one's state of affairs; hope of seeing one's beloved again when parting; youthful cheerfulness and trust in God.

E Major: Noisy shouts of joy, laughing pleasure and not yet complete, full delight lies in E Major.

B Major: Strongly coloured, announcing wild passions, composed from the most glaring coulors. Anger, rage, jealousy, fury, despair and every burden of the heart lies in its sphere.

F# Major: Triumph over difficulty, free sigh of relief utered when hurdles are surmounted; echo of a soul which has fiercely struggled and finally conquered lies in all uses of this key.

Db Major: A leering key, degenerating into grief and rapture. It cannot laugh, but it can smile; it cannot howl, but it can at least grimace its crying. Consequently only unusual characters and feelings can be brought out in this key.

Ab Major: Key of the grave. Death, grave, putrefaction, judgment, eternity lie in its radius.

Eb Major: The key of love, of devotion, of intimate conversation with God.

Bb Major: Cheerful love, clear conscience, hope aspiration for a better world.

F Major: Complaisance & Calm.

Minor

A Minor: Pious womanliness and tenderness of character.

E Minor: Naive, womanly innocent declaration of love, lament without grumbling; sighs accompanied by few tears; this key speaks of the imminent hope of resolving in the pure happiness of C Minor.

B Minor: This is as it were the key of patience, of calm awaiting ones's fate and of submission to divine dispensation.

F# Minor: A gloomy key: it tugs at passion as a dog biting a dress. Resentment and discontent are its language.

C# Minor: Penitential lamentation, intimate conversation with God, the friend and help-meet of life; sighs of disappointed friendship and love lie in its radius.

G# Minor: Grumbler, heart squeezed until it suffocates; wailing lament, difficult struggle; in a word, the color of this key is everything struggling with difficulty.

D# Minor: Feelings of the anxiety of the soul's deepest distress, of brooding despair, of blackest depresssion, of the most gloomy condition of the soul. Every fear, every hesitation of the shuddering heart, breathes out of horrible D# Minor. If ghosts could speak, their speech would approximate this key.

Bb Minor: A quaint creature, often dressed in the garment of night. It is somewhat surly and very seldom takes on a pleasant countenance. Mocking God and the world; discontented with itself and with everything; preparation for suicide sounds in this key.

F Minor: Deep depression, funereal lament, groans of misery and longing for the grave.

C Minor: Declaration of love and at the same time the lament of unhappy love. All languishing, longing, sighing of the love-sick soul lies in this key.

G Minor: Discontent, uneasiness, worry about a failed scheme; bad-tempered gnashing of teeth; in a word: resentment and dislike.

D Minor: Melancholy womanliness, the spleen and humours brood.

Daar is de stempolitie!

Tue, 14 Apr 2009 01:17:00 GMT

We moeten gelijk zweven meneer!

Zo, nu maar eens luisteren

Sun, 15 Apr 2007 12:29:00 GMT

Voor wie wil weten waar ik me nou eigenlijk mee bezig hou als ik het heb over alternatieven van pianostemmen, heb ik een zestal luistervoorbeelden gemaakt. Zes keer hetzelfde stukje Bach, zes keer hetzelfde midi-bestand als basis, zes keer hetzelfde simpele gesynthetiseerde clavicord als instrument. Het enige dat steeds anders is, is de manier van stemmen. Laboratorium-omstandigheden dus. Luister en huiver, ik weet zeker dat je het met me eens zal zijn dat de verschillen gigantisch zijn. Voor mij onthulde het weer een beetje van wat Bach bezielde.

Analyse van de tertsen van Young en Werckmeister temperaturen

Sun, 10 Dec 2006 01:12:00 GMT

Veel temperaturen staan beschreven in kwinten, maar met name te tertsen klinken radicaal anders dan gelijkzwevend, omdat we er meer emotie hechten aan tertsen dan aan kwinten. Daarom heb ik een lijstje gemaakt van de tertsen in 3 stemmingen, gelijkzwevend, Young en Werckmeister.

De grootte van de tertsen is genoteerd in cents. 100 cent is een halve toon in de gelijkzwevende stemming. Alle kleine tertsen zijn 300 en alle grote 400 cent in de gelijkzwevende temperatuur. 1200 cent is een altijd een oktaaf.

In de tabel heb ik met opmaak aangegeven of er iets met de bijbehorende kwint is gebeurd. Ontspannen kwinten zijn vet, zuivere kwinten zijn cursief, normale kwinten zoals in 'gelijkzwevend' hebben geen extra opmaak. De ontspannen kwinten in Werckmeister zijn lager (696 cent) dan die van Young (698).

In alle stemmingen kun je in alle toonaarden spelen, maar in de gelijkzwevende stemming, waarin alle toonaarden evenredig geschrikkeld zijn, ben je het meest vrij om te moduleren. Maar waarom zou je moduleren als elke toonaard eender klinkt? In het kader van mijn onderzoek naar toonaarden heb ik uitgezocht hoe drieklanken wiskundig zijn samengesteld in deze stemmingen.

Majeur

gelijkzwevend = 400 cents.

zonder zweving = 386 cents.

Een ontspannen kwint klinkt zoet bij een grote terts.



	Young	WerckmeisterIII



C E 	392 !	390 !

E G#	400  	402

G#C 	398  	408



G B 	394 !	396

B D#	406  	396

D#G	400  	402



D F#	400  	396

F#Bb	408  	408

BbD 	396  	396



F A 	394  	390 !

A C#	400  	402

C#F 	406  	408

Conclusies:

WerckmeisterIII: De toonaard C, met een lage terts en een lage kwint klinkt zodoende het vriendelijkst. Ook F zal mooi klinken. C#, F# en G# vallen het moeilijkst.
Young: Zit dichter bij wat we kennen, gelijkzwevend. Er is maar één terts radikaal hoog, namelijk F#, die ook nog een zuivere kwint heeft. Dit akkoord klink dan ook rauw. C en G vallen het mooist, D ook, maar kent een normale terts. G#, Bb en F zijn ook goed speelbaar. D# en A klinken in grote lijnen zoals we ze kennen, zij het met een zuivere kwint, dus iets rauwer.

Mineur

Gelijkzwevend = 300

Hoger is frisser

Een zuivere kwint van 702 cent is mooier bij een mineur.



	Young	WerckmeisterIII



A C 	306 !	312 !!!

C D#	298  	294

D#F#	294  	294

F#A 	302 !	300



D F 	304 !	306 !

F G#	296  	294

G#B 	296  	300

B D 	304 !	300



G Bb	302  	300

BbC#	294  	294

C#E 	298  	300

E G 	306 !!	306 !!

Conclusies:

Werckmeister: Am en Em zijn de mooie toonaarden in mineur. F#m, G#m en C#m klinken als gelijkzwevend, maar met een zuiverder kwint. Vergeleken met middentoonstemmingen waarin maar 1 mineur toonaard mooi valt, heeft Werckmeister met maarliefst 5 speelbare mineuren een hoop winst geboekt. De mooie mineuren dragen bij aan het serieuze karakter van de WerckmeisterIII methode.
Young: Met name F#m is er op vooruit gegaan. Am en Dm hebben mooiere kleine tertsen, maar hun kwinten zijn wat laag. Em en Bm hebben de gewone kwint, maar wel een lekker hoge kleine terts, dus zeer geschikt voor blues. Cm, Fm en Bbm pakken niet zo mooi uit.
Aangezien weel blues in Em en Am wordt gespeeld, en de majeur terts van E normaal is, is Young dus zeer geschikt als er veel popmuziek op de piano wordt gespeeld.

In deze analyse heb ik de andere intervallen buiten beschouwing gelaten. Septimes zijn nog wel bepalend in het karakter van een stemming, maar secundes en sexten zijn minder kritisch. Sexten en septimes zijn in te schatten aan de hand van de tertsen van het IVe en Ve akkoord. Voor blues in Em pakt dat heel gunstig uit in Young: alle drie de kleine tertsen zijn aan de grote kant.
Je kunt ook beide tabellen met elkaar vergelijken. Immers: In de drieklank CEG zit behalve de kwint CG en de grote terts CE ook nog een kleine terts EG. Als je dat doet, zie je dat CEG in Werckmeister en Young op alle punten optimaal is. In Young is GBD ook erg optimaal. DF#A is prima. In Werckmeister is naast CEG ook FAC prachtig, en GBD is ook goed bruikbaar. Zo zie je pas echt hoe deze heren hebben gekozen.