Over fixed gear fietsen, molens en het stemmen van instrumenten
Ik hou niet van de gewone gelijkzwevende stemming, zoals hier op dit blog uit en te na aan de orde is geweest. Zelfs dat woord vind ik stom en onjuist, omdat er geen twee tonen zijn die gelijk zweven aan twee andere in deze stemming. Vooral die ruime grote tertsen en enge mineurtonen vind ik niet mooi. Maar wat dan? Die smaakkwestie leidde tot een zoektocht naar de geschiedenis van het stemmen van piano's en orgels. Dat begon jaren geleden (toen ik nota bene in de Simon Stevinstraat te 's-Gravenhage woonde) en nog steeds leer ik er meer over.
De gelijkzwevende stemming wordt pas gemeengoed nadat Prinses Amalia van Pruisen (leerlinge van Kirnberger, die leerling was van Bach) verder discussie over allerlei weltemperierte stemmingen (die ik wel mooi vind) per koninklijk verbod afkapt. Dat doet ze ongeveer 200 jaar nadat Simon Stevin de methode van het "gelijkzwevende" stemmen had voorgesteld en wiskundig had doorgerekend. Ik heb me lang afgevraagd waarom een ingenieur als Stevin, die zich bezig hield met serieuze zaken als windmolens en renteberekeningen, een methode voor stemmen ging doorrekenen. Was hij een muziekliefhebber? Vast wel, want hij schreef ook bespiegelingen (zijn woord voor theorie) over zangtechniek. Maar dat kan niet alles zijn, want stemmen is nogal een ongebruikelijke kwestie om je in te willen verdiepen en harde wiskunde is meestal niet welkom op gevoelige muziekavonden.
Wiskunde en Fixie
Ik rij op een fixed gear fiets. Dat is ineens heel hip. Eind jaren zeventig was het heel hip om het achtertandwiel van een oude fiets vast te zetten, nu komen deze fietsen veel voor in de vorm van een soort racefiets, aka New York messenger bike. Ik rij gewoon met remmen en heb vooral mijn voorrem scherp afgesteld. Veel fixierijders rijden zonder remmen. Ze stoppen door het achterwiel even op te wippen en dan de pedalen stil te houden. Als je rechtsbenig bent, is dat makkelijker met je rechter been achter. Omdat je achterwiel niet door kan draaien ten opzichte van je pedalen, slip je en rem je af. En daarvan slijt je band hard.
Fixed-rijders moeten goed nadenken over het verzet waarmee ze rijden, want je kunt niet schakelen. Hoe groter het voortandwiel, en hoe kleiner het achtertandwiel, hoe zwaarder je moet trappen, hoe harder je kunt fietsen, en hoe moeilijker je kunt remmen. Gewone racefietsers kijken enkel naar de zwaarte van het verzet, maar fixed-rijders hebben nog een extra probleem: Als je een te mooie verhouding tussen het aantal tanden van je voortandwiel en achtertandwiel kiest, dan staat je achterwiel altijd in dezelfde positie als je slipt. Daardoor slijt je band op één plek door. Fixedrijders willen weten hoeveel "skidpatches" en bepaalde combinatie van tandwielen oplevert, want er zijn ook verhoudingen waarin je band veel egaler slijt.
Hier staat een rekentooltje:
bikecalc.com/skid_patch_calculator
Vul als voorbeeld bij minimaal 44 en 12 in (voor- en achtertandwiel) en bij maximaal 48 en 18. Dat levert een tabel op waarin het aantal slijtplekken staat.
Update: Hier staat er nog een, en deze heeft een grafisch uitwerking van die slijtplekken:
bareknucklebrigade.com/rabbit.applet
Je ziet meteen waarom ik met 44 en 17 rijdt, niet met bijvoorbeeld 45 en 15 tanden. In dat laatste geval zou je achterwiel precies 3x ronddraaien bij elke keer dat de pedalen 1x rond zijn gegaan. Daardoor staat het wiel altijd met dezelfde plek beneden als mijn pedalen horizotaal staan. Bij 44 en 17 draait het achterwiel steeds iets minder dan 3x rond bij elke rondgang van de pedalen en daardoor zijn er verschillende posities waarop het wiel kan uitkomen. Merk ook op dat de priemgetallen 13, 17 en 47 ideale keuzes zijn wat betreft dit soort slijtage.
Molens en Stemmingen
Simon Stevin publiceerde een aantal beroemde tabellen. Als jij toen een website had kunnen maken, had hij zulke rekentooltjes er op gezet. Ik zag laatst een BBC documentaire waarin een uitvinding van Simon Stevin werd genoemd. Behalve de schoepenraderen waarmee je water kon malen, had Stevin nog iets veel belangrijkers bedacht, vertelde deze docu. De molen moest kunnen draaien ten opzichte van de wind en binnenin de molen was een verzet nodig. De constructie daarvoor werkte met houten tandwielen. Stevin toonde aan dat het gebruik van tandwielcombinaties waarvan er ten minste één een aantal tanden uit de reeks priemgetallen had, veel slijtvaster waren. Ze zijn wat moeilijker te maken dan die met even aantallen, dat wel, maar het loont zich: De tandwielen moeten veel vaker ronddraaien voor ze weer in precies dezelfde stand ten opzichte van elkaar staan. Zo slijten ze heel evenwichtig. Een evenwichtig ingewerkte molen is bovendien zeer stil. Ineens had ik antwoord op mijn vraag: Simon Stevin had in dit tandwielenprobleem het harmonie-probleem herkend. Als je een tabel met slijtage-factoren van tandwielen kunt maken, kun je ook uitrekenen hoe harmonisch combinaties van muzikale tonen zijn. Muzikaal klinken de combinaties die juist mooi met elkaar in de pas lopen.
Fixed gear rijders rekenen dus uit of hun voortandwiel een harmonisch aantal tanden heeft ten opzichte van hun achtertandwiel. Als het harmonisch is, dan kiezen ze een andere combinatie. Waar in de muziek juist heel gelijksoortige verhoudingen worden gekozen als 1:2, 3:4, 2:3, en 1:3 kies je in werktuigen en fietsen juist de niet-harmonische verhoudingen. Zo klinkt 450 Hz met 150 Hz samen als een welluidend akkoord, en slijt je achterband 17x sneller als je met 45:15 tanden rijdt, dan wanneer je met 44:17 tanden rijdt.
Conclusie: Met een vals verzet rijd je fluitend op de fiets.